微分積分例

$y = \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (\frac{1}{x}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.3.2

$\cos (\frac{1}{x})$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

微分積分 例