微分積分例

$y = \ln (9 x^{2} + 5 y^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (9 x^{2} + 5 y^{2}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 9 x^{2} + 5 y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $9 x^{2} + 5 y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $9 x^{2} + 5 y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $9 x^{2} + 5 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ です。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

ステップ 3.2.2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

ステップ 3.2.4

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

ステップ 3.2.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 3.4

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(18 x + 10 y y') \frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

ステップ 3.6.2

$18 x + 10 y y'$ に $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$ をかけます。

$\frac{18 x + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

ステップ 3.6.3

$2$ を $18 x + 10 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.3.1

$2$ を $18 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 x) + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

ステップ 3.6.3.2

$2$ を $10 y y'$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 x) + 2 (5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

ステップ 3.6.3.3

$2$ を $2 (9 x) + 2 (5 y y')$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $9 x^{2} + 5 y^{2}$ を掛けます。

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2

並べ替えます。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 y' x^{2} + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$9 x^{2} + 5 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x + 5 y y')$

ステップ 5.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x) + 2 (5 y y')$

ステップ 5.2.2.1.3

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.3.1

$9$ に $2$ をかけます。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 2 (5 y y')$

ステップ 5.2.2.1.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 (y y')$

ステップ 5.2.2.1.3.3

$y$ を移動させます。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 y' y$

ステップ 5.2.2.1.3.4

$18 x$ と $10 y' y$ を並べ替えます。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 10 y' y + 18 x$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $10 y' y$ を引きます。

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y'$ を $9 y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' (9 x^{2}) + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

ステップ 5.3.2.2

$y'$ を $5 y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) - 10 y' y = 18 x$

ステップ 5.3.2.3

$y'$ を $- 10 y' y$ で因数分解します。

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

ステップ 5.3.2.4

$y'$ を $y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

ステップ 5.3.2.5

$y'$ を $y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y)$ で因数分解します。

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$

ステップ 5.3.3

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ の各項を $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ の各項を $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ で割ります。

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

微分積分 例

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