微分積分例

$y = x^{2} \ln (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + \ln (x) (2 x)$

ステップ 3.3.4

項を並べ替えます。

$2 x \ln (x) + x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 x \ln (x) + x$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \ln (x) + x$

微分積分 例

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