微分積分例

$y = \frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$\sin (x) + \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$- x (- \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + 1 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.4

$- 1$ を $- x \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.5

$- 1$ を $x \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.6

$- 1$ を $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.7

$- 1$ を $\sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.8

$- 1$ を $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.9

$- 1$ を $\cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.10

$- 1$ を $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.11

$- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ を $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

微分積分 例

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