微分積分例

$y = 3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

ステップ 3.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

ステップ 3.2.3

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{5}{x^{4}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$\frac{3}{x} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{x} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

ステップ 3.3.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

ステップ 3.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

ステップ 3.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

ステップ 3.3.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

ステップ 3.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{3 - 8})$

ステップ 3.3.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 5})$

ステップ 3.3.8

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{3}{x} + 20 x^{- 5}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{3}{x} + 20 \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 3.4.2

$20$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

微分積分 例

微分積分例