微分積分例

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x + y - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + y' + 0$

ステップ 2.5

$1 + y'$ と $0$ をたし算します。

$1 + y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 3.5.2

$2 x + 2 y y'$ に $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 3.5.3

$2$ を $2 x + 2 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 3.5.3.2

$2$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 3.5.3.3

$2$ を $2 (x) + 2 (y y')$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

両辺に $x^{2} + y^{2}$ を掛けます。

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.1.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.2.2

$x^{2}$ を移動させます。

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

ステップ 5.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

ステップ 5.2.2.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.1

$y$ を移動させます。

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

ステップ 5.2.2.1.3.2

$2 x$ と $2 y' y$ を並べ替えます。

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $2 y' y$ を引きます。

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

ステップ 5.3.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

ステップ 5.3.2.2

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$y'$ を $y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.3.2

$y'$ を $y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.3.3

$y'$ を $- 2 y' y$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.3.4

$y'$ を $y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ で因数分解します。

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.3.5

$y'$ を $y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.4

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ の各項を $x^{2} + y^{2} - 2 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ の各項を $x^{2} + y^{2} - 2 y$ で割ります。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$x^{2} + y^{2} - 2 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.4.3.2

1つの分数にまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.4.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

微分積分 例

微分積分例