微分積分例

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

ステップ 2.4

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ の因数を並べ替えます。

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $y^{2} + \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$2 y y' + 0$

ステップ 3.3.2

$2 y y'$ と $0$ をたし算します。

$2 y y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

ステップ 5.1.2

0を加えて簡約します。

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

ステップ 5.1.3

$1 + y'$ に $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

ステップ 5.2

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $2 y y'$ を引きます。

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

${(x + y)}^{2}$ を $(x + y) (x + y)$ に書き換えます。

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

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ステップ 5.2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.2.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.2.3.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.2.3.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

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ステップ 5.2.2.3.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.2.3.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2.3

$- 2 y y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.4

$- 2 y y'$ と $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6.2

簡約します。

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ステップ 5.2.6.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6.2.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 5.2.6.2.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6.2.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6.2.3

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.6.2.3.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6.2.3.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 5.2.6.2.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.2.6.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

ステップ 5.3

分子を0に等しくします。

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

ステップ 5.4

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.2.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

ステップ 5.4.2.2

$y'$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

ステップ 5.4.2.3

$y'$ を $- 2 y y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

ステップ 5.4.2.4

$y'$ を $- 4 y^{2} y' x$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

ステップ 5.4.2.5

$y'$ を $- 2 y^{3} y'$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

ステップ 5.4.2.6

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

ステップ 5.4.2.7

$y'$ を $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ で因数分解します。

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

ステップ 5.4.2.8

$y'$ を $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ で因数分解します。

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

ステップ 5.4.2.9

$y'$ を $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ で因数分解します。

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

ステップ 5.4.3

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ の各項を $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ の各項を $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ で割ります。

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

ステップ 5.4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.2.1

$1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

ステップ 5.4.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

ステップ 5.4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

微分積分 例

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