微分積分例

$\ln (y) = e^{y} \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} y'$

ステップ 2.3

$\frac{1}{y}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{y}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{y}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{y} = e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

ステップ 5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$(e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$

ステップ 5.2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

$e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$ の因数を並べ替えます。

$y' = y e^{y} \cos (x) + y' y e^{y} \sin (x)$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$y e^{y} \cos (x)$ と $y' y e^{y} \sin (x)$ を並べ替えます。

$y' = y' y e^{y} \sin (x) + y e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y' y e^{y} \sin (x)$ を引きます。

$y' - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $y' - y' y e^{y} \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.2.2

$y'$ を $- y' y e^{y} \sin (x)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.2.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x))$ で因数分解します。

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.4

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ の各項を $1 - y e^{y} \sin (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ の各項を $1 - y e^{y} \sin (x)$ で割ります。

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$1 - y e^{y} \sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

微分積分 例

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