微分積分例

$y = \frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + 4 x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.3

$f (x) = x - 7$ および $g (x) = x^{2} + 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} ((x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

総和則では、 $x^{2} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \cdot 1) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.6

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.8

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + 0)) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \cdot 1) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.9.2

$x^{2} + 4 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4.10

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 3.4.11

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.11.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 3.4.11.2

$x^{2}$ を $x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.11.2.1

$x^{2}$ を $x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 3.4.11.2.2

$x^{2}$ を $- 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 3.4.11.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 3.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 3.6

$x$ を $x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x$ を $- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

ステップ 3.6.2

$x$ を $x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)$ で因数分解します。

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

ステップ 3.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.7.3

式を書き換えます。

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 7) (2 x + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x + 4) - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.2.1.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.2.1.4

$2$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.2.1.5

$- 7$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.2.2

$4 x$ から $14 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.3

$- 3$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.4

$4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x (1 + \frac{4}{x}) + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.6.1.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.6.1.2.1

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot 4 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6.1.4

$21$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6.1.5

$21 \frac{4}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.6.1.5.1

$21$ と $\frac{4}{x}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{21 \cdot 4}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6.1.5.2

$21$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.6.2

$- 12$ と $21$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 9 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x \cdot x + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.8.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 (x \cdot x) + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.8.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.8.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.8.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.1.8.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.2

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.3

$3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.3.1

$3 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 0 + 9 x + 84}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.3.2

$- 10 x - 28 + 4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 9 x + 84}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.4

$- 10 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{- 6 x - 28 + 9 x + 84}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.5

$- 6 x$ と $9 x$ をたし算します。

$\frac{3 x - 28 + 84}{x^{3}}$

ステップ 3.8.3.6

$- 28$ と $84$ をたし算します。

$\frac{3 x + 56}{x^{3}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例