微分積分例

$y = \frac{1}{x + 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x + 1})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 3.3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 3.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- {(x + 1)}^{- 2}$

ステップ 3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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