微分積分例

$y = e^{\frac{x}{5}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{5}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{5}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{5}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{5}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\frac{x}{5}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{5}$ と $e^{\frac{x}{5}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1$

ステップ 3.2.4

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$

微分積分 例