微分積分例

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (t) = 4 t - 1$ および $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 2 t - 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t - 2$ とします。

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 t - 2$ で置き換えます。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $2 t - 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ です。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.3.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.3.5

$- 2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

ステップ 3.3.7

総和則では、 $4 t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.3.8

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.3.10

$4$ に $1$ をかけます。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.3.11

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

ステップ 3.3.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.12.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

ステップ 3.3.12.2

$4$ を ${(2 t - 2)}^{- 1}$ の左に移動させます。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

項を並べ替えます。

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$2$ を $2 t - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

$2$ を $2 t$ で因数分解します。

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.1.3

$2$ を $2 (t) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2

積の法則を $2 (t - 1)$ に当てはめます。

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.2

$2$ を $4 {(t - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.4

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.5.1

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.5.2

$2$ を $2 {(t - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.5.3

$2$ を $4 t$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.5.4

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.5.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.6

$2$ と $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.8

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.9

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.9.2

$\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

ステップ 3.4.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

ステップ 3.4.2.12

$2$ を $2 t - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.12.1

$2$ を $2 t$ で因数分解します。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

ステップ 3.4.2.12.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

ステップ 3.4.2.12.3

$2$ を $2 (t) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

ステップ 3.4.2.13

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.13.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

ステップ 3.4.2.13.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

ステップ 3.4.2.13.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

ステップ 3.4.2.14

$2$ と $\frac{1}{t - 1}$ をまとめます。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

ステップ 3.4.3

$\frac{2}{t - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t - 1}{t - 1}$ を掛けます。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(t - 1)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$\frac{2}{t - 1}$ に $\frac{t - 1}{t - 1}$ をかけます。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.2

$t - 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.3

$t - 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1.1

$2$ を $- 2 t + 2 (t - 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1.1.1

$2$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.1.1.2

$2$ を $2 (- t) + 2 (t - 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.1.2

$- t$ と $t$ をたし算します。

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.1.3

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.7

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 {(t - 1)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

$\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.8.2

${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.10.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例