微分積分例

$y = (x + 1) (x^{2} - 1)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + 1) (x^{2} - 1))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2.4.2

$2$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)$

ステップ 3.2.8

式を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.8.2

$x^{2} - 1$ に $1$ をかけます。

$2 (x + 1) x + x^{2} - 1$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

ステップ 3.3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

ステップ 3.3.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

ステップ 3.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

ステップ 3.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

ステップ 3.3.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1$

ステップ 3.3.3.6

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} + 2 x - 1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 3 x^{2} + 2 x - 1$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 1$

微分積分 例

微分積分例