微分積分例

$1 + \ln (x y) = e^{x - y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (1 + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 + \ln (x y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$0 + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$0 + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

ステップ 2.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$x$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$0 + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{x}{x y}$ と $y'$ をまとめます。

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

ステップ 2.3.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

ステップ 2.3.2.3.2

式を書き換えます。

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

ステップ 2.3.2.4

$\frac{1}{x y}$ と $y$ をまとめます。

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

ステップ 2.3.2.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.5.1

共通因数を約分します。

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

ステップ 2.3.2.5.2

式を書き換えます。

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

ステップ 2.3.2.6

$0$ と $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ をたし算します。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$e^{x - y} (1 - y')$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

書き換えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 5.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

ステップ 5.1.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$e^{x - y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

ステップ 5.1.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

ステップ 5.1.4.3

$e^{x - y} - e^{x - y} y'$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

ステップ 5.2

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $y' e^{x - y}$ を足します。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.2

$y' e^{x - y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} + \frac{y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y' + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.4

$y'$ を $y' + y' e^{x - y} y$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.4.1

$y'$ を $1$ 乗します。

$\frac{{y'}^{1} + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.4.2

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$\frac{y' \cdot 1 + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.4.3

$y'$ を $y' e^{x - y} y$ で因数分解します。

$\frac{y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.4.4

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)$ で因数分解します。

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.5

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.6

$\frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.7.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.7.3

$y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x + y}{x y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.9.2

$y'$ に $1$ をかけます。

$\frac{(y' + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y} = e^{x - y}$

ステップ 5.2.10

$\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} = e^{x - y}$

ステップ 5.3

両辺に $x y$ を掛けます。

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

ステップ 5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

$x y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

ステップ 5.4.1.1.1.2

式を書き換えます。

$y' x + y' y x e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

ステップ 5.4.1.1.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.2.1

$y$ を移動させます。

$y' x + y' x y e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

ステップ 5.4.1.1.2.2

$y' x y e^{x - y}$ を移動させます。

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = e^{x - y} (x y)$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$e^{x - y} (x y)$ の因数を並べ替えます。

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y}$

ステップ 5.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$y' x + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

ステップ 5.5.2

$y' x$ を $y' x + y' x y e^{x - y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$y' x$ を $y' x$ で因数分解します。

$y' x \cdot 1 + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

ステップ 5.5.2.2

$y' x$ を $y' x y e^{x - y}$ で因数分解します。

$y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

ステップ 5.5.2.3

$y' x$ を $y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y})$ で因数分解します。

$y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

ステップ 5.5.3

$y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ の各項を $x (1 + y e^{x - y})$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ の各項を $x (1 + y e^{x - y})$ で割ります。

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 5.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 5.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 5.5.3.2.2

$1 + y e^{x - y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 5.5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 5.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{x y e^{x - y} - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 5.5.3.3.2

$y$ を $x y e^{x - y} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.2.1

$y$ を $x y e^{x - y}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 5.5.3.3.2.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 5.5.3.3.2.3

$y$ を $y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$

微分積分 例

微分積分例