微分積分例

$y^{2} = \frac{x}{x + 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + 1})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

ステップ 5.3.2

まとめる。

$y' = \frac{1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 5.3.3.2

$2$ を ${(x + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$y' = \frac{1}{2 \cdot {(x + 1)}^{2} y}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{2} y}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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