微分積分例

$3 y^{2} = \frac{5 x - 4}{5 x + 4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 4}{5 x + 4})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 5 x - 4$ および $g (x) = 5 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(5 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x - 4] - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $5 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{(5 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(5 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 x + 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{(5 x + 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(5 x + 4) (5 + 0) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(5 x + 4) \cdot 5 - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$5$ を $5 x + 4$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot (5 x + 4) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $5 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + 0)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.12

式を簡約します。

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ステップ 3.2.12.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) \cdot 5}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.12.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.3.1.1

$5 (5 x)$ から $5 (5 x)$ を引きます。

$\frac{5 \cdot 4 + 0 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2

$5 \cdot 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 \cdot 4 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2.2

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{20 + 20}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.3

$20$ と $20$ をたし算します。

$\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 5

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ の各項を $6 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ の各項を $6 y$ で割ります。

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

ステップ 5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{6 y}$

ステップ 5.3.2

まとめる。

$y' = \frac{40 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

ステップ 5.3.3

$40$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$2$ を $40 \cdot 1$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

ステップ 5.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$2$ を ${(5 x + 4)}^{2} (6 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{20 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (3 y)}$

ステップ 5.3.4

式を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$20$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{20}{{(5 x + 4)}^{2} \cdot 3 y}$

ステップ 5.3.4.2

$3$ を ${(5 x + 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$y' = \frac{20}{3 \cdot {(5 x + 4)}^{2} y}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{20}{3 {(5 x + 4)}^{2} y}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$

微分積分 例

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