微分積分例

$\int x^{11} e^{x^{12}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ を ${u_{1}}^{5}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $10$ をまとめます。

$\int {u_{1}}^{\frac{10}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{\frac{5}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2

${\sqrt{u_{1}}}^{12}$ を ${u_{1}}^{6}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $12$ をまとめます。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{12}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ と ${u_{1}}^{5}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{1}}^{5}}{2} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

ステップ 2.4

$\frac{{u_{1}}^{5}}{2}$ と $e^{{u_{1}}^{6}}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}}}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 4.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {\sqrt{u_{2}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ を ${u_{2}}^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2

${\sqrt{u_{2}}}^{6}$ を ${u_{2}}^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.3

$\frac{1}{2}$ と ${u_{2}}^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

ステップ 5.4

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ と $e^{{u_{2}}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}}}{2} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

ステップ 7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

ステップ 8

$u_{3} = {u_{2}}^{3}$ とします。次に $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u_{3} = {u_{2}}^{3}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

${u_{2}}^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}]$

ステップ 8.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{2}}^{2}$

ステップ 8.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{3} d u_{3}$

ステップ 9

$e^{u_{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{3} d u_{3}$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 11.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{12} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 12

$e^{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $e^{u_{3}}$ です。

$\frac{1}{12} (e^{u_{3}} + C)$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{1}{12} e^{u_{3}} + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$u_{3}$ のすべての発生を ${u_{2}}^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{12} e^{{u_{2}}^{3}} + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{12} e^{{({u_{1}}^{2})}^{3}} + C$

ステップ 14.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{12} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例