微分積分 例

極大値と極小値を求める y=3x^(2/3)-2x
ステップ 1
を関数で書きます。
ステップ 2
関数の一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 2.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.3
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 2.2.4
をまとめます。
ステップ 2.2.5
公分母の分子をまとめます。
ステップ 2.2.6
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.6.1
をかけます。
ステップ 2.2.6.2
からを引きます。
ステップ 2.2.7
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 2.2.8
をまとめます。
ステップ 2.2.9
をまとめます。
ステップ 2.2.10
をかけます。
ステップ 2.2.11
負の指数法則を利用してを分母に移動させます。
ステップ 2.2.12
で因数分解します。
ステップ 2.2.13
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.13.1
で因数分解します。
ステップ 2.2.13.2
共通因数を約分します。
ステップ 2.2.13.3
式を書き換えます。
ステップ 2.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.3
をかけます。
ステップ 3
関数の二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 3.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 3.2.2
に書き換えます。
ステップ 3.2.3
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.3.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 3.2.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 3.2.3.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 3.2.4
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 3.2.5
の指数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.5.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 3.2.5.2
をまとめます。
ステップ 3.2.5.3
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 3.2.6
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 3.2.7
をまとめます。
ステップ 3.2.8
公分母の分子をまとめます。
ステップ 3.2.9
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.9.1
をかけます。
ステップ 3.2.9.2
からを引きます。
ステップ 3.2.10
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 3.2.11
をまとめます。
ステップ 3.2.12
をまとめます。
ステップ 3.2.13
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.13.1
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 3.2.13.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 3.2.13.3
からを引きます。
ステップ 3.2.13.4
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 3.2.14
負の指数法則を利用してを分母に移動させます。
ステップ 3.2.15
をかけます。
ステップ 3.2.16
をまとめます。
ステップ 3.2.17
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 3.3
定数の規則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.1
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 3.3.2
をたし算します。
ステップ 4
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 5
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 5.1.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 5.1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.1.2.3
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 5.1.2.4
をまとめます。
ステップ 5.1.2.5
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.1.2.6
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.6.1
をかけます。
ステップ 5.1.2.6.2
からを引きます。
ステップ 5.1.2.7
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 5.1.2.8
をまとめます。
ステップ 5.1.2.9
をまとめます。
ステップ 5.1.2.10
をかけます。
ステップ 5.1.2.11
負の指数法則を利用してを分母に移動させます。
ステップ 5.1.2.12
で因数分解します。
ステップ 5.1.2.13
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.13.1
で因数分解します。
ステップ 5.1.2.13.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.1.2.13.3
式を書き換えます。
ステップ 5.1.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 5.1.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.1.3.3
をかけます。
ステップ 5.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 6
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 6.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 6.3
方程式の項の最小公分母を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.1
値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。
ステップ 6.3.2
1と任意の式の最小公倍数はその式です。
ステップ 6.4
の各項にを掛け、分数を消去します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.4.1
の各項にを掛けます。
ステップ 6.4.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.4.2.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.4.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 6.4.2.1.2
式を書き換えます。
ステップ 6.5
方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.1
方程式をとして書き換えます。
ステップ 6.5.2
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 6.5.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.2.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 6.5.2.2.2
で割ります。
ステップ 6.5.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.2.3.1
で割ります。
ステップ 6.5.3
方程式の両辺を乗し、左辺の分数指数を消去します。
ステップ 6.5.4
指数を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.1
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.1.1
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.1.1.1
の指数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.1.1.1.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 6.5.4.1.1.1.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.1.1.1.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 6.5.4.1.1.1.2.2
式を書き換えます。
ステップ 6.5.4.1.1.2
簡約します。
ステップ 6.5.4.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.2.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 7
微分係数が未定義になる値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1
分数指数をもつ式を根に変換します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1.1
法則を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。
ステップ 7.1.2
に乗じたものは底そのものです。
ステップ 7.2
の分母をに等しいとして、式が未定義である場所を求めます。
ステップ 7.3
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.3.1
方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。
ステップ 7.3.2
方程式の各辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.3.2.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 7.3.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.3.2.2.1
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.3.2.2.1.1
の指数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.3.2.2.1.1.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 7.3.2.2.1.1.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.3.2.2.1.1.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 7.3.2.2.1.1.2.2
式を書き換えます。
ステップ 7.3.2.2.1.2
簡約します。
ステップ 7.3.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.3.2.3.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 8
値を求める臨界点です。
ステップ 9
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 10
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 10.2
をかけます。
ステップ 11
は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極大値です
ステップ 12
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 12.1
式の変数で置換えます。
ステップ 12.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 12.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 12.2.1.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 12.2.1.2
をかけます。
ステップ 12.2.1.3
をかけます。
ステップ 12.2.2
からを引きます。
ステップ 12.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 13
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 14
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.1
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.1.1
に書き換えます。
ステップ 14.1.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 14.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 14.2.2
式を書き換えます。
ステップ 14.3
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.3.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 14.3.2
をかけます。
ステップ 14.3.3
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 14.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
未定義
ステップ 15
をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.1
一次導関数または未定義になる値の周囲で、を分離区間に分割します。
ステップ 15.2
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1
式の変数で置換えます。
ステップ 15.2.2
最終的な答えはです。
ステップ 15.3
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.3.1
式の変数で置換えます。
ステップ 15.3.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.3.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.3.2.1.1
乗します。
ステップ 15.3.2.1.2
で割ります。
ステップ 15.3.2.2
からを引きます。
ステップ 15.3.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 15.4
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.4.1
式の変数で置換えます。
ステップ 15.4.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.4.2.1
括弧を削除します。
ステップ 15.4.2.2
最終的な答えはです。
ステップ 15.5
の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、は極小値です。
は極小値です
ステップ 15.6
の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、は極大値です。
は極大値です
ステップ 15.7
の極値です。
は極小値です
は極大値です
は極小値です
は極大値です
ステップ 16