微分積分例

$y = \arctan (e^{x^{4}})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (e^{x^{4}}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = e^{x^{4}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{x^{4}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{x^{4}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(e^{x^{4}})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

ステップ 3.2

${(e^{x^{4}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + e^{x^{4} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

ステップ 3.2.2

$2$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{4}$ とします。

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$e^{x^{4}}$ と $\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}}$ をまとめます。

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} (4 x^{3})$

ステップ 3.4.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.3.1

$4$ と $\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ をまとめます。

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} x^{3}$

ステップ 3.4.3.2

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$4 e^{x^{4}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

ステップ 3.5.3

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

微分積分 例

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