微分積分例

$u = \sqrt[7]{t} + 6 \sqrt{t^{7}}$

ステップ 1

右辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{t}$ を $t^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 \sqrt{t^{7}}$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t^{7}}$ を $t^{\frac{7}{2}}$ に書き換えます。

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (u) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}})$

ステップ 3

$t$ に関する $u$ の微分係数は $u'$ です。

$u'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$n = \frac{1}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.2.3

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.2.5.2

$1$ から $7$ を引きます。

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t^{\frac{7}{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$ です。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 4.3.2

$n = \frac{7}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1})$

ステップ 4.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 2}{2}})$

ステップ 4.3.6.2

$7$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{5}{2}})$

ステップ 4.3.7

$\frac{7}{2}$ と $t^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.8

$6$ と $\frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 (7 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

ステップ 4.3.9

$7$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{42 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.10

$2$ を $42 t^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

ステップ 4.3.11

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 4.3.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.11.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{21 t^{\frac{5}{2}}}{1}$

ステップ 4.3.11.4

$21 t^{\frac{5}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

ステップ 4.4.2

$\frac{1}{7}$ に $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ をかけます。

$\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

ステップ 4.4.3

項を並べ替えます。

$21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$u' = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

ステップ 6

$u'$ を $\frac{d u}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d u}{d t} = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

微分積分 例

微分積分例