微分積分例

$2 x^{2} + x + x y = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + x + x y) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{2} + x + x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x + 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 x + 1 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 x + 1 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x + 1 + x y' + y \cdot 1$

ステップ 2.4.4

$y$ に $1$ をかけます。

$4 x + 1 + x y' + y$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$x y' + 4 x + y + 1$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + 4 x + y + 1 = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$x y' + y + 1 = - 4 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' + 1 = - 4 x - y$

ステップ 5.1.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x y' = - 4 x - y - 1$

ステップ 5.2

$x y' = - 4 x - y - 1$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x y' = - 4 x - y - 1$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 5.2.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

$- 4$ を $1$ で割ります。

$y' = - 4 + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 5.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - 4 - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 5.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - 4 - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 4 - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$

微分積分 例

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