微分積分例

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ です。

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{2}{3}$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $\frac{2}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{5}$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $- \frac{y^{2}}{5}$ の微分係数は $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ です。

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.2

$f (w) = w^{2}$ および $g (w) = y$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d w} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.5

$- 2$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.6

$y$ と $\frac{- 2}{5}$ をまとめます。

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.7

$\frac{y \cdot - 2}{5}$ と $y'$ をまとめます。

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.8

$- 2$ を $y$ の左に移動させます。

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{4}{3}$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $\frac{4 y^{2}}{3}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ です。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

ステップ 3.3.2

$f (w) = w^{2}$ および $g (w) = y$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

ステップ 3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d w} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

ステップ 3.3.4

$2$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

ステップ 3.3.5

$2$ に $4$ をかけます。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

ステップ 3.3.6

$y$ と $\frac{8}{3}$ をまとめます。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

ステップ 3.3.7

$\frac{y \cdot 8}{3}$ と $y'$ をまとめます。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

ステップ 3.3.8

$8$ を $y$ の左に移動させます。

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

ステップ 3.4

項をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$0$ から $\frac{2 y y'}{5}$ を引きます。

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

ステップ 3.4.2

$- \frac{2 y y'}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

ステップ 3.4.3

$\frac{8 y y'}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.4.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.4.1

$\frac{2 y y'}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.4.4.2

$5$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.4.4.3

$\frac{8 y y'}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

ステップ 3.4.4.4

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

ステップ 3.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

ステップ 3.4.6

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

ステップ 3.4.7

$5$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

ステップ 3.4.8

$- 6 y y'$ と $40 y y'$ をたし算します。

$\frac{34 y y'}{15}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\frac{34 y y'}{15} = 1$ として書き換えます。

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $\frac{15}{34}$ を掛けます。

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

ステップ 5.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

ステップ 5.3.1.1.2

$34$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.2.1

$34$ を $34 y y'$ で因数分解します。

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

ステップ 5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

ステップ 5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$\frac{15}{34}$ に $1$ をかけます。

$y y' = \frac{15}{34}$

ステップ 5.4

$y y' = \frac{15}{34}$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y y' = \frac{15}{34}$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 5.4.3.2

$\frac{15}{34}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y' = \frac{15}{34 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d w}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$

微分積分 例

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