微分積分例

$5 x^{3} + x y^{2} = 5 x^{3} y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (5 x^{3} + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{3} + x y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$15 x^{2} + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$15 x^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$15 x^{2} + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$15 x^{2} + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{2} + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$15 x^{2} + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$15 x^{2} + 2 x y y' + y^{2}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3} y^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 (x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$5 (3 \cdot x^{3} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}))$

ステップ 3.7

$3$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + 3 \cdot y^{3} x^{2})$

ステップ 3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$5 (3 x^{3} y^{2} y') + 5 (3 y^{3} x^{2})$

ステップ 3.8.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

$3$ に $5$ をかけます。

$15 (x^{3} y^{2} y') + 5 (3 y^{3} x^{2})$

ステップ 3.8.2.2

$3$ に $5$ をかけます。

$15 x^{3} y^{2} y' + 15 y^{3} x^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y' = 15 x^{3} y^{2} y' + 15 y^{3} x^{2}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺から $15 x^{3} y^{2} y'$ を引きます。

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2}$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $15 x^{2}$ を引きます。

$y^{2} + 2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2}$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3

$x y y'$ を $2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$x y y'$ を $2 x y y'$ で因数分解します。

$x y y' \cdot 2 - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.2

$x y y'$ を $- 15 x^{3} y^{2} y'$ で因数分解します。

$x y y' \cdot 2 + x y y' (- 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.3

$x y y'$ を $x y y' \cdot 2 + x y y' (- 15 x^{2} y)$ で因数分解します。

$x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

ステップ 5.4

$x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$ の各項を $x y (2 - 15 x^{2} y)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$ の各項を $x y (2 - 15 x^{2} y)$ で割ります。

$\frac{x y y' (2 - 15 x^{2} y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y y' (2 - 15 x^{2} y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (2 - 15 x^{2} y)}{y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (2 - 15 x^{2} y)}{y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (2 - 15 x^{2} y)}{2 - 15 x^{2} y} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.2.3

$2 - 15 x^{2} y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 - 15 x^{2} y)}{2 - 15 x^{2} y} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1

$y^{3}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1.1

$y$ を $15 y^{3} x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1.2.1

$y$ を $x y (2 - 15 x^{2} y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{y (x (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{y (x (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{15 y^{2} x^{2}}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.2.1

$x$ を $15 y^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (15 y^{2} x)}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x (15 y^{2} x)}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.3.1

$x$ を $- 15 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.3.2.1

$x$ を $x y (2 - 15 x^{2} y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x (y (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x (y (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{- 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.5

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.5.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.5.2.1

$y$ を $x y (2 - 15 x^{2} y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{y (x (2 - 15 x^{2} y))}$

ステップ 5.4.3.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{y (x (2 - 15 x^{2} y))}$

ステップ 5.4.3.1.5.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.2

$\frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 - 15 x^{2} y) y$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1

$\frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = \frac{15 y^{2} x y}{(2 - 15 x^{2} y) y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.3.2

$(2 - 15 x^{2} y) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{15 y^{2} x y}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{15 y^{2} x y - 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.1

$15 x$ を $15 y^{2} x y - 15 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.1.1

$15 x$ を $15 y^{2} x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{15 x (y^{2} y) - 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.1.2

$15 x$ を $- 15 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{15 x (y^{2} y) + 15 x (- 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.1.3

$15 x$ を $15 x (y^{2} y) + 15 x (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{15 x (y^{2} y - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.2

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.2.1

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{15 x (y^{2} y^{1} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{15 x (y^{2 + 1} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{15 x (y^{3} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.3

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$y' = \frac{15 x (y^{3} - 1^{3})}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.5.1

$y$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.5.5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y + 1))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.6

$\frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.7

$- \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 5.4.3.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y (2 - 15 x^{2} y) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.8.1

$\frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{y (2 - 15 x^{2} y) x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 5.4.3.8.2

$\frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{y (2 - 15 x^{2} y) x} - \frac{y \cdot y}{x (2 - 15 x^{2} y) y}$

ステップ 5.4.3.8.3

$y (2 - 15 x^{2} y) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{x y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y \cdot y}{x (2 - 15 x^{2} y) y}$

ステップ 5.4.3.8.4

$x (2 - 15 x^{2} y) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{x y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.9

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.10.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.10.1.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{15 (x \cdot x) (y - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' = \frac{15 x^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.2

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{(15 x^{2} y + 15 x^{2} \cdot - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.3

$- 1$ に $15$ をかけます。

$y' = \frac{(15 x^{2} y - 15 x^{2}) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(15 x^{2} y - 15 x^{2}) (y^{2} + y + 1)$ を展開します。

$y' = \frac{15 x^{2} y \cdot y^{2} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.10.5.1

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.10.5.1.1

$y^{2}$ を移動させます。

$y' = \frac{15 x^{2} (y^{2} y) + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.5.1.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.10.5.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{15 x^{2} (y^{2} y^{1}) + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{2 + 1} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.5.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.5.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.10.5.2.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} (y \cdot y) + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.5.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.5.3

$15$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.5.4

$- 15$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.6

$15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.10.6.1

$15 x^{2} y^{2}$ から $15 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y + 0 - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.6.2

$15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y$ と $0$ をたし算します。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.6.3

$15 x^{2} y$ から $15 x^{2} y$ を引きます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 0 - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.6.4

$15 x^{2} y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.7

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.10.7.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - (y \cdot y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 5.4.3.10.7.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

微分積分 例

微分積分例