微分積分例

$x + 2 y = \sqrt{y}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x + 2 y = y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x + 2 y) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x + 2 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + 2 y'$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$2 y' + 1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.7

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.9

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

ステップ 4.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y' + 1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

両辺に $2 y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2.2

$2 y^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = y'$

ステップ 6.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $2 y^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$4 y' y^{\frac{1}{2}} - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2

$y'$ を $4 y' y^{\frac{1}{2}} - y'$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.2.1

$y'$ を $4 y' y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.3

$y'$ を $y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ の各項を $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ の各項を $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ で割ります。

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

ステップ 6.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

ステップ 6.3.3.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

ステップ 6.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

微分積分 例

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