微分積分例

$y^{5} + x^{2} y^{3} = 1 + x^{4} y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{5} + x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{4} y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $y^{5} + x^{2} y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

ステップ 2.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 y^{4} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$5 y^{4} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x)$

ステップ 2.3.5

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$5 y^{4} y' + 3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

ステップ 2.3.6

$2$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $1 + x^{4} y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

ステップ 3.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 + x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.2.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + x^{4} y' + y (4 x^{3})$

ステップ 3.2.4

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$0 + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ と $x^{4} y' + 4 y x^{3}$ をたし算します。

$x^{4} y' + 4 y x^{3}$

ステップ 3.3.2

項を並べ替えます。

$x^{4} y' + 4 x^{3} y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = x^{4} y' + 4 x^{3} y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $x^{4} y'$ を引きます。

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - x^{4} y' = 4 x^{3} y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2 y^{3} x$ を引きます。

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

ステップ 5.3

$y'$ を $5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $5 y^{4} y'$ で因数分解します。

$y' (5 y^{4}) + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $3 x^{2} y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $- x^{4} y'$ で因数分解します。

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

ステップ 5.3.4

$y'$ を $y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2})$ で因数分解します。

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

ステップ 5.3.5

$y'$ を $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4})$ で因数分解します。

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

ステップ 5.4

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ の各項を $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ の各項を $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ で割ります。

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{4 x^{3} y - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

ステップ 5.4.3.2

$2 x y$ を $4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.3.2.1

$2 x y$ を $4 x^{3} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

ステップ 5.4.3.2.2

$2 x y$ を $- 2 y^{3} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

ステップ 5.4.3.2.3

$2 x y$ を $2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

微分積分 例

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