微分積分例

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 1}{x + 1})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

式を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$x + 1 - x - - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

ステップ 5.3.2

まとめる。

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

ステップ 5.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} (y)}$

ステップ 5.3.4

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2} y}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例