微分積分例

$x^{3} + y^{3} = x^{3} y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$3 \cdot x^{3} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2})$

ステップ 3.6

$3$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $3 x^{3} y^{2} y'$ を引きます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$3 y^{2} y'$ を $3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$3 y^{2} y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y^{2} y' \cdot 1 - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$3 y^{2} y'$ を $- 3 x^{3} y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$3 y^{2} y'$ を $3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3})$ で因数分解します。

$3 y^{2} y' (1 - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.4

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' (1^{3} - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.5

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.6

因数分解。

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ステップ 5.6.1

簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.6.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.6.2

不要な括弧を削除します。

$3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.7

$3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ の各項を $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.1

$3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ の各項を $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ で割ります。

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.2.3

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.2.4

$1 + x + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.2.4.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y^{3} x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3.1.2

$y^{3}$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.1.2.1

$y^{2}$ を $y^{3} x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.1.2.2.1

$y^{2}$ を $(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3.1.3

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.1.3.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.1.3.2.1

$3$ を $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

ステップ 5.7.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

ステップ 5.7.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 5.7.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

微分積分 例

微分積分例