微分積分例

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (π x) + \cos (π y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (π x) + \cos (π y)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (π x) + \cos (π y)$ で置き換えます。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

ステップ 2.2

総和則では、 $\sin (π x) + \cos (π y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)]$ です。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

ステップ 2.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π x$ とします。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

ステップ 2.3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

ステップ 2.4.3

$π$ に $1$ をかけます。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

ステップ 2.5

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = π y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $π y$ とします。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

ステップ 2.5.2

$u_{3}$ に関する $\cos (u_{3})$ の微分係数は $- \sin (u_{3})$ です。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

ステップ 2.5.3

$u_{3}$ のすべての発生を $π y$ で置き換えます。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

ステップ 2.6

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π y$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.7

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

ステップ 2.8

分配則を当てはめます。

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

ステップ 3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y')) = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ の各項を $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ の各項を $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ で割ります。

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

ステップ 5.1.2.1.2

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ を $1$ で割ります。

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y' = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

ステップ 5.1.2.2

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ の因数を並べ替えます。

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$0$ と $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

ステップ 5.1.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.1.2.1

$2$ を $2 \sin (π x)$ で因数分解します。

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 \cos (π y)}$

ステップ 5.1.3.1.2.2

$2$ を $2 \cos (π y)$ で因数分解します。

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))}$

ステップ 5.1.3.1.2.3

$2$ を $2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))$ で因数分解します。

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

ステップ 5.1.3.1.2.4

共通因数を約分します。

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 \cdot 0}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

ステップ 5.1.3.1.2.5

式を書き換えます。

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{\sin (π x) + \cos (π y)}$

ステップ 5.1.3.2

$0$ を $\sin (π x) + \cos (π y)$ で割ります。

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $π \cos (π x)$ を引きます。

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$

ステップ 5.3

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ の各項を $- π \sin (π y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ の各項を $- π \sin (π y)$ で割ります。

$\frac{- π y' \sin (π y)}{- π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

ステップ 5.3.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

ステップ 5.3.2.3

$\sin (π y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

ステップ 5.3.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

ステップ 5.3.3.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

ステップ 5.3.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$ を積として書き換えます。

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

ステップ 5.3.3.4

$\cos (π x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$y' = \frac{\cos (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (π y)}$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

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ステップ 5.3.3.5.1

$\cos (π x)$ を $1$ で割ります。

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

ステップ 5.3.3.5.2

$\frac{1}{\sin (π y)}$ を $\csc (π y)$ に変換します。

$y' = \cos (π x) \csc (π y)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \cos (π x) \csc (π y)$

微分積分 例

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