微分積分例

${(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3} = 38392$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (38392)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 ${(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 6 x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 x - y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x - y$ で置き換えます。

$4 {(6 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $6 x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$4 {(6 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.7

$6$ に $1$ をかけます。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 y^{2} y')$

ステップ 2.3.4

$3$ に $3$ をかけます。

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 9 y^{2} y'$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$4 {(6 x - y)}^{3} \cdot 6 + 4 {(6 x - y)}^{3} (- y') + 9 y^{2} y'$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$6$ に $4$ をかけます。

$24 {(6 x - y)}^{3} + 4 {(6 x - y)}^{3} (- y') + 9 y^{2} y'$

ステップ 2.4.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y'$

ステップ 3

$38392$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $38392$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y'$ の因数を並べ替えます。

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $24 {(6 x - y)}^{3}$ を引きます。

$- 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y' = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.3

$y'$ を $- 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- 4 y' {(6 x - y)}^{3}$ で因数分解します。

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + 9 y^{2} y' = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $9 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + y' (9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + y' (9 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.4

二項定理を利用します。

$y' (- 4 ({(6 x)}^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.1

積の法則を $6 x$ に当てはめます。

$y' (- 4 (6^{3} x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.2

$6$ を $3$ 乗します。

$y' (- 4 (216 x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' (- 4 (216 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(6 x)}^{2} y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 {(6 x)}^{2} y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.5

積の法則を $6 x$ に当てはめます。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 (6^{2} x^{2}) y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.6

$6$ を $2$ 乗します。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 (36 x^{2}) y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.7

$36$ に $- 3$ をかけます。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.8

$6$ に $3$ をかけます。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.9

積の法則を $- y$ に当てはめます。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.10

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.11

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.12

$18$ に $1$ をかけます。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.13

積の法則を $- y$ に当てはめます。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.5.14

$- 1$ を $3$ 乗します。

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} - y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.6

分配則を当てはめます。

$y' (- 4 (216 x^{3}) - 4 (- 108 x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.7

簡約します。

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ステップ 5.7.1

$216$ に $- 4$ をかけます。

$y' (- 864 x^{3} - 4 (- 108 x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.7.2

$- 108$ に $- 4$ をかけます。

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.7.3

$18$ に $- 4$ をかけます。

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 72 (x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.7.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 72 (x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

括弧を削除します。

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 (x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.8.2

括弧を削除します。

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

ステップ 5.9

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$ の各項を $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.9.1

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$ の各項を $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ で割ります。

$\frac{y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2})}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}} = \frac{- 24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.9.2.1

$- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.9.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.9.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.2

$- 1$ を $- 864 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3}) + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.3

$- 1$ を $432 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3}) - (- 432 x^{2} y) - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.4

$- 1$ を $- (864 x^{3}) - (- 432 x^{2} y)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.5

$- 1$ を $- 72 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - (72 x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.6

$- 1$ を $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - (72 x y^{2})$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.7

$- 1$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) - (- 4 y^{3}) + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.8

$- 1$ を $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) - (- 4 y^{3})$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) + 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.9

$- 1$ を $9 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) - (- 9 y^{2})}$

ステップ 5.9.3.10

$- 1$ を $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) - (- 9 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})}$

ステップ 5.9.3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.11.1

$- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})$ を $- 1 (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})$ に書き換えます。

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- 1 (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})}$

ステップ 5.9.3.11.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.11.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' = 1 \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

ステップ 5.9.3.11.4

$\frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

微分積分 例

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