微分積分例

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

ステップ 2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{y}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ です。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = 1$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

ステップ 2.3.5

$y$ に $0$ をかけます。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

ステップ 2.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

ステップ 2.3.7

$0$ から $y'$ を引きます。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

ステップ 2.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

ステップ 2.3.9

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

ステップ 2.3.10

$3$ と $\frac{y'}{y^{2}}$ をまとめます。

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $\frac{3}{x^{2}}$ を足します。

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 5.2

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\frac{3}{x^{2}}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 5.4

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.4.3.1.2

まとめる。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

ステップ 5.4.3.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

ステップ 5.4.3.1.3.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 5.4.3.1.4

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

微分積分 例

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