微分積分例

$e^{x} y = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{x} y) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} y' + y e^{x}$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$e^{x} y' + y e^{x} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$e^{x} y' + y e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$y' e^{x} + y e^{x} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $y e^{x}$ を引きます。

$y' e^{x} = - y e^{x}$

ステップ 5.3

$y' e^{x} = - y e^{x}$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' e^{x} = - y e^{x}$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 5.3.3.1.2

$- y$ を $1$ で割ります。

$y' = - y$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - y$

微分積分 例

微分積分例