微分積分例

$e^{y} = x^{2} + y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{y} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y'$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$e^{y} y' = 2 y y' + 2 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$e^{y} y'$ の因数を並べ替えます。

$y' e^{y} = 2 y y' + 2 x$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2 y y'$ を引きます。

$y' e^{y} - 2 y y' = 2 x$

ステップ 5.3

$y'$ を $y' e^{y} - 2 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $y' e^{y}$ で因数分解します。

$y' (e^{y}) - 2 y y' = 2 x$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$y' (e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' (e^{y}) + y' (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$

ステップ 5.4

$y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$ の各項を $e^{y} - 2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$ の各項を $e^{y} - 2 y$ で割ります。

$\frac{y' (e^{y} - 2 y)}{e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$e^{y} - 2 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (e^{y} - 2 y)}{e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

微分積分 例

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