微分積分例

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 2.2.5.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

ステップ 2.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

ステップ 2.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

ステップ 2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

ステップ 2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

ステップ 2.3.6.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

ステップ 2.3.7

$\frac{4}{3}$ と $y^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

ステップ 2.3.8

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

ステップ 2.4

$\frac{4}{3}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

ステップ 5

$x^{\frac{1}{3}}$ について解きます。

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ステップ 5.1

各項にある共通因数 $x^{\frac{1}{3}}$ を求めます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

ステップ 5.2

$u$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に代入します。

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

ステップ 5.3

$u$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ を引きます。

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 5.3.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.3.4

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

ステップ 5.3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.3.1

$4$ を $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

ステップ 5.3.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

ステップ 5.3.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.3.4.3.2.3

式を書き換えます。

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

ステップ 5.3.4.3.2.4

$- y' y^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.4

$y'$ を $u$ に代入します。

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$

微分積分 例

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