微分積分例

$x^{2} - 6 x - 27 < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 6 x - 27 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 27$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 27$ で、その和が $- 6$ です。

$- 9, 3$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 9) (x + 3) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 9 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 4

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

最終解は $(x - 9) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 9, - 3$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{2} - 6 \cdot - 6 - 27 < 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $45$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.2

区間 $- 3 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- 3 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 27 < 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 27$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.3

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

${(12)}^{2} - 6 \cdot 12 - 27 < 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $45$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 < x < 9$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(- 3, 9)$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例