微分積分例

$\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4} > 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + 8 x = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2

$x$ を $x^{2} + 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x + 8 x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

ステップ 2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 8$ で因数分解します。

$x (x + 8) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 6

最終解は $x (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 8$

ステップ 7

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0, - 8$

$x = 4$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 0, - 8, 4$

ステップ 10

$\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 4 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\frac{{(- 10)}^{2} + 8 (- 10)}{(- 10) - 4} > 0$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 1.\overline{428571}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.2

区間 $- 8 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- 8 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4)}^{2} + 8 (- 4)}{(- 4) - 4} > 0$

ステップ 12.2.3

左辺 $2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.3

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{{(2)}^{2} + 8 (2)}{(2) - 4} > 0$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 10$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{{(6)}^{2} + 8 (6)}{(6) - 4} > 0$

ステップ 12.4.3

左辺 $42$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < 0$ 真

$0 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < 0$ 真

$0 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$- 8 < x < 0$ または $x > 4$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- 8, 0) \cup (4, \infty)$

ステップ 15

微分積分 例

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