微分積分例

{sec}^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$

ステップ 1

sec (x)

$\sec (x)$ を

{sec}^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$ で因数分解します。

\int sec (x) {sec}^{2} (x) d x

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2

u = sec (x)

$u = \sec (x)$ と

d v = {sec}^{2} (x)

$d v = \sec^{2} (x)$ ならば、公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

sec (x) tan (x) - \int tan (x) (sec (x) tan (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

ステップ 3

tan (x)

$\tan (x)$ を

1

$1$ 乗します。

sec (x) tan (x) - \int {tan}^{1} (x) tan (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

ステップ 4

tan (x)

$\tan (x)$ を

1

$1$ 乗します。

sec (x) tan (x) - \int {tan}^{1} (x) {tan}^{1} (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

ステップ 5

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

sec (x) tan (x) - \int {tan (x)}^{1 + 1} sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

ステップ 6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

sec (x) tan (x) - \int {tan}^{2} (x) sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

ステップ 6.2

{tan}^{2} (x)

$\tan^{2} (x)$ と

sec (x)

$\sec (x)$ を並べ替えます。

sec (x) tan (x) - \int sec (x) {tan}^{2} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

sec (x) tan (x) - \int sec (x) {tan}^{2} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、

$\tan^{2} (x)$ を

$- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 8

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

累乗法を積に書き換えます。

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

ステップ 8.3

$\sec (x)$ と

$- 1$ を並べ替えます。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

ステップ 9

$\sec (x)$ を

$1$ 乗します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 10

$\sec (x)$ を

$1$ 乗します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

ステップ 11

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

ステップ 12

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

ステップ 13

$\sec (x)$ を

$1$ 乗します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

ステップ 14

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

ステップ 15

$2$ と

$1$ をたし算します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

ステップ 16

単一積分を複数積分に分割します。

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 17

$- 1$ は

$x$ に対して定数なので、

$- 1$ を積分の外に移動させます。

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 18

$\sec (x)$ の

$x$ に関する積分は

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 19

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

ステップ 19.2

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

ステップ 20

$\int \sec^{3} (x) d x$ を解くと、

$\int \sec^{3} (x) d x$ =

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

ステップ 21

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

ステップ 22

簡約します。

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

微分積分 例

微分積分例