微分積分例

${(x + h)}^{3} - x^{3}$

ステップ 1

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x + h$ であり、 $b = x$ です。

$(x + h - x) ({(x + h)}^{2} + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$(h + 0) ({(x + h)}^{2} + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.2

$h$ と $0$ をたし算します。

$h ({(x + h)}^{2} + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.3

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$h ((x + h) (x + h) + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$h (x (x + h) + h (x + h) + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$h (x \cdot x + x h + h (x + h) + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.4.3

分配則を当てはめます。

$h (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$h (x^{2} + x h + h x + h \cdot h + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.5.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$h (x^{2} + x h + h x + h^{2} + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.5.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

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ステップ 2.5.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$h (x^{2} + h x + h x + h^{2} + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.5.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$h (x^{2} + 2 h x + h^{2} + (x + h) x + x^{2})$

ステップ 2.6

分配則を当てはめます。

$h (x^{2} + 2 h x + h^{2} + x \cdot x + h x + x^{2})$

ステップ 2.7

$x$ に $x$ をかけます。

$h (x^{2} + 2 h x + h^{2} + x^{2} + h x + x^{2})$

ステップ 2.8

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$h (2 x^{2} + 2 h x + h^{2} + h x + x^{2})$

ステップ 2.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$h (3 x^{2} + 2 h x + h^{2} + h x)$

ステップ 2.10

$2 h x$ と $h x$ をたし算します。

$h (3 x^{2} + h^{2} + 3 h x)$

微分積分 例

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