微分積分例

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + x^{2}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$2$ を $1 - x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.10.2

$1 + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.12

$2$ を $1 + x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.5.2.1

$- 2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

$2 x + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

分母を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.2

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

ステップ 3.7.4

積の法則を $(1 + x) (1 - x)$ に当てはめます。

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

微分積分 例

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