微分積分例

$f (x) = (x - 1) e^{3 x + 2}$

ステップ 1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = e^{3 x + 2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 2}] + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 2$ とします。

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 2$ で置き換えます。

$(x - 1) (e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$(x - 1) e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + 0) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$(x - 1) e^{3 x + 2} \cdot 3 + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.6.2

$3$ を $(x - 1) e^{3 x + 2}$ の左に移動させます。

$3 \cdot ((x - 1) e^{3 x + 2}) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + 0)$

ステップ 3.10

式を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} \cdot 1$

ステップ 3.10.2

$e^{3 x + 2}$ に $1$ をかけます。

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(3 x + 3 \cdot - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

ステップ 4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(3 x - 3) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$e^{3 x + 2} (3 x - 3) + e^{3 x + 2}$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$e^{3 x + 2} (3 x) + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

ステップ 4.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 e^{3 x + 2} x + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

ステップ 4.4.3

$- 3$ を $e^{3 x + 2}$ の左に移動させます。

$3 e^{3 x + 2} x - 3 e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

ステップ 4.5

$- 3 e^{3 x + 2}$ と $e^{3 x + 2}$ をたし算します。

$3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$

ステップ 4.6

$3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$ の因数を並べ替えます。

$3 x e^{3 x + 2} - 2 e^{3 x + 2}$

微分積分 例

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