微分積分例

$\frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

ステップ 1

$\sqrt{3 - x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$3 - x \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$- x \geq - 3$

ステップ 2.2

$- x \geq - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- x \geq - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 3$

ステップ 3

$\sqrt{x^{2} - 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 1 \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} \geq 1$

ステップ 4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

ステップ 4.3

方程式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq \sqrt{1}$

ステップ 4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| x | \geq 1$

ステップ 4.4

$| x | \geq 1$ を区分で書きます。

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ステップ 4.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \geq 1$

ステップ 4.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 4.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \geq 1$

ステップ 4.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 4.5

$x \geq 1$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x \geq 1$

ステップ 4.6

$- x \geq 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- x \geq 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

ステップ 4.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

ステップ 4.6.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{1}{- 1}$

ステップ 4.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.6.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq - 1$

ステップ 4.7

解の和集合を求めます。

$x \leq - 1$ または $x \geq 1$

ステップ 5

$\frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 1}$ を ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 6.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 6.3.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 6.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 6.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 6.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (1, 3]$

集合の内包的記法：

${x | x < - 1, 1 < x \leq 3}$

ステップ 8

微分積分 例

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