微分積分例

$f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt{1 - 9 x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{1 - 9 y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{1 - 9 y} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{1 - 9 y} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{1 - 9 y}}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - 9 y}$ を ${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - 9 y)}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$1 - 9 y = x^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 9 y = x^{2} - 1$

ステップ 3.4.2

$- 9 y = x^{2} - 1$ の各項を $- 9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 9 y = x^{2} - 1$ の各項を $- 9$ で割ります。

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$- 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 1}{- 9}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ が $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = - \frac{{(\sqrt{1 - 9 x})}^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(\sqrt{1 - 9 x})}^{2} + 1}{9}$

ステップ 5.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

${\sqrt{1 - 9 x}}^{2}$ を $1 - 9 x$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - 9 x}$ を ${(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {({(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{9}$

ステップ 5.2.4.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{9}$

ステップ 5.2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

ステップ 5.2.4.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

ステップ 5.2.4.1.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

ステップ 5.2.4.1.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

ステップ 5.2.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

ステップ 5.2.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

ステップ 5.2.4.4

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 + 9 x + 1}{9}$

ステップ 5.2.5

項を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$- 1 + 9 x + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x + 0}{9}$

ステップ 5.2.5.1.2

$9 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

ステップ 5.2.5.2

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

ステップ 5.2.5.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})$ の値を求めます。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.3

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.4

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

$- \frac{x^{2}}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 \frac{- x^{2}}{9} - 9 (\frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.4.2

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 (- 1) (\frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.4.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.4.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 1 (- x^{2}) - 9 (\frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.5

掛け算します。

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ステップ 5.3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 1 x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.6

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 (- 1) (\frac{1}{9})}$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 \cdot (- 1 (\frac{1}{9}))}$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

ステップ 5.3.7

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

ステップ 5.3.7.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 5.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ は $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

微分積分 例

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