微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y}{y - 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $y - 1$ を掛けます。

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$(y - 1) (x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 3.2.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y x - x = y$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$y x - x - y = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$y x - y = x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $y x - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$y (x) - y = x$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y (x) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (x - 1) = x$

ステップ 3.4.4

$y (x - 1) = x$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$y (x - 1) = x$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ が $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

ステップ 5.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

ステップ 5.2.4.2

$- 1$ と $\frac{x - 1}{x - 1}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

ステップ 5.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

ステップ 5.2.4.4

因数分解した形で $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

ステップ 5.2.4.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

ステップ 5.2.4.4.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

ステップ 5.2.4.4.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

ステップ 5.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

ステップ 5.2.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$x - 1$ を $1 (x - 1)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

ステップ 5.2.6.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

ステップ 5.2.6.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{x - 1})$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

ステップ 5.3.4.2

$- 1$ と $\frac{x - 1}{x - 1}$ をまとめます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

ステップ 5.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

ステップ 5.3.4.4

因数分解した形で $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

ステップ 5.3.4.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

ステップ 5.3.4.4.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

ステップ 5.3.4.4.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

ステップ 5.3.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$x - 1$ を $1 (x - 1)$ で因数分解します。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ は $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

微分積分 例

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