微分積分例

$f (x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x + x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 8

総和則では、 $x + x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 10

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 12

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 14.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ の因数を並べ替えます。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.2

$1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.5.1

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 18.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{1}{2}} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例