微分積分例

$f (x) = \frac{x}{1 + \ln (x)}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + \ln (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$1 + \ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{1 + \ln (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 + \ln (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ をたし算します。

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + \ln (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \ln (x) - 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + \ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$0$ と $\ln (x)$ をたし算します。

$\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

微分積分 例

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