微分積分例

$\int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 1

$\sin^{2} (x)$ を因数分解します。

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 3

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 4

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ を掛けます。

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1 u^{2}$ を $- u^{2}$ に書き換えます。

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 5.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$

微分積分 例

微分積分例