微分積分例

$f (x) = \frac{7 x}{2^{x}}$

ステップ 1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7 x}{2^{x}}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 2^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${(2^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

ステップ 3.3

$2^{x}$ に $1$ をかけます。

$7 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

ステップ 4

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

ステップ 5

$7$ と $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ をまとめます。

$\frac{7 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 \cdot 2^{x} + 7 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

ステップ 6.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$7 (- x (2^{x} \ln (2)))$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.1.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{7 \cdot 2^{x} - 7 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

ステップ 6.2.1.1.2

対数の中の $7$ を移動させて $- 7 \ln (2)$ を簡約します。

$\frac{7 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{7})))}{2^{2 x}}$

ステップ 6.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (2^{7}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を $7$ 乗します。

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

ステップ 6.2.2

$7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (128)}{2^{2 x}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

ステップ 6.4

$2^{x}$ を $- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.1

$2^{x}$ を $- 2^{x} x \ln (128)$ で因数分解します。

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

ステップ 6.4.2

$2^{x}$ を $7 \cdot 2^{x}$ で因数分解します。

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7}{2^{2 x}}$

ステップ 6.4.3

$2^{x}$ を $2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7$ で因数分解します。

$\frac{2^{x} (- x \ln (128) + 7)}{2^{2 x}}$

ステップ 6.5

$2^{x}$ と $2^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

$2^{2 x}$ を $2^{x} (- x \ln (128) + 7)$ で因数分解します。

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x}}$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2^{- x} (- x \ln (128) + 7)}{1}$

ステップ 6.5.2.4

$2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$ を $1$ で割ります。

$2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$

ステップ 6.6

分配則を当てはめます。

$2^{- x} (- x \ln (128)) + 2^{- x} \cdot 7$

ステップ 6.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 7$

ステップ 6.8

$7$ を $2^{- x}$ の左に移動させます。

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$

ステップ 6.9

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$- x \cdot 2^{- x} \ln (128) + 7 \cdot 2^{- x}$

微分積分 例

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