微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x^{3} + 1)}^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{7}] + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x^{3} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} + 1$ とします。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 1$ で置き換えます。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4.2

$3$ に $7$ をかけます。

$3 (x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6} x^{2}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$3 (x^{2} x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (x^{2 + 2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} (2 x))$

ステップ 7

$2$ を ${(x^{3} + 1)}^{7}$ の左に移動させます。

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + 2 \cdot {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

ステップ 8.2

$21$ に $3$ をかけます。

$63 (x^{4} ({(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

ステップ 8.3

$2$ に $3$ をかけます。

$63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 ({(x^{3} + 1)}^{7} x)$

ステップ 8.4

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ を $63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.1

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ を $63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6}$ で因数分解します。

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$

ステップ 8.4.2

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ を $6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ で因数分解します。

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$

ステップ 8.4.3

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ を $3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$ で因数分解します。

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3} + 2 (x^{3} + 1))$

微分積分 例

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