微分積分例

$f (x) = x^{3} (3 x^{2} - 20)$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 3 x^{2} - 20$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 20] + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ です。

$x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.5

$- 20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 20$ の微分係数は $0$ です。

$x^{3} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.6

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} (6 x) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$x^{4} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4

$6$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$6 \cdot x^{4} + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{4} + (3 x^{2} - 20) (3 x^{2})$

ステップ 6

$3$ を $3 x^{2} - 20$ の左に移動させます。

$6 x^{4} + 3 \cdot (3 x^{2} - 20) x^{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$6 x^{4} + (3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 20) x^{2}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

ステップ 7.3

項をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$3$ に $3$ をかけます。

$6 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

ステップ 7.3.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$6 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 20 x^{2}$

ステップ 7.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

ステップ 7.3.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

ステップ 7.3.3

$3$ に $- 20$ をかけます。

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 60 x^{2}$

ステップ 7.3.4

$6 x^{4}$ と $9 x^{4}$ をたし算します。

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

微分積分 例

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