微分積分例

$\cot (x) \sin (x)$

ステップ 1

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$\cos (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4.2.2

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

$\cos (x)$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4.2.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4.2.2.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4.2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4.2.3

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x)$

ステップ 4.2.4

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 4.2.5

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 4.2.5.2

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

ステップ 4.2.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

ステップ 4.2.5.4

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x)}$

ステップ 4.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

ステップ 4.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)}$

ステップ 4.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

ステップ 4.4

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

ステップ 4.8

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

ステップ 4.9

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 4.10

$\sin^{2} (x)$ と $\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.1

$\sin (x)$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 4.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

ステップ 4.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

ステップ 4.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sin (x)}{1}$

ステップ 4.10.2.4

$- \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$- \sin (x)$

微分積分 例

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