微分積分例

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

ステップ 10

${(x^{2} - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

ステップ 11.3

分配則を当てはめます。

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.4

項をまとめます。

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ステップ 11.4.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.4.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.4.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.4.2

$4$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.4.3

$4$ に $6$ をかけます。

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.4.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.4.5

$- 4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.4.6

$- 4$ に $6$ をかけます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 11.5

各項を簡約します。

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ステップ 11.5.1

${(x^{2} - 1)}^{2}$ を $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

ステップ 11.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ を展開します。

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ステップ 11.5.2.1

分配則を当てはめます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

ステップ 11.5.2.2

分配則を当てはめます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

ステップ 11.5.2.3

分配則を当てはめます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 11.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 11.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 11.5.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 11.5.3.1.2

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 11.5.3.1.3

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 11.5.3.1.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 11.5.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

ステップ 11.5.3.2

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

ステップ 11.5.4

分配則を当てはめます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

ステップ 11.5.5

簡約します。

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ステップ 11.5.5.1

$- 2$ に $6$ をかけます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

ステップ 11.5.5.2

$6$ に $1$ をかけます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

ステップ 11.6

$24 x^{4}$ と $6 x^{4}$ をたし算します。

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

ステップ 11.7

$- 24 x^{2}$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

微分積分 例

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